En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite
de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo,
cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna
cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una
cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media
de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o
menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las
15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de
800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en
intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las
15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.
La antiderivada es la función que resulta del proceso
inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar
una función que, al ser derivada produce la función
dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada
de f(x). Observe que no existe una derivada única para
cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es
otra antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o
la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en
donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la
constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una
antiderivada es la siguiente:
Teorema
Si dos funcionesh y g son antiderivadas de una misma
función f en un conjunto D de números
reales, entonces esas dos funciones h y g solo
difieren en una constante.
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de
f en un conjunto D de números reales, entonces
cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se
puede escribir comoc constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la
indefinida
A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida
se deben tener disponibles los recursos
aritméticos y heurísticos. Estos son:
Concepto.
Propiedades.
Reglas de integración.
Integrales inmediatas.
Métodos clásicos de
integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales
mediante fracciones simples.
Una ecuación diferencial es una ecuación
que involucra derivadas (o diferenciales) de una función
desconocida de una o más variables. Si la función
desconocida depende sólo de una variable, la
ecuación se llama una ecuación diferencial
ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama
una ecuación diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria
es:
La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial
es:
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V
1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
El orden de una ecuación diferencial está
dado por el orden mayor de su derivada.
Ejemplo
1.3) DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
El de una ecuación diferencial está
dado por el exponente del mayor orden de su derivada.
Ejemplos
Determinar el orden y de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Una función que cuando se remplaza en la
ecuación diferencial da una igualdad, se llama una
solución de la ecuación diferencial, por lo tanto,
resolver una ecuación diferencial es encontrar una
función desconocida que al ser sustituida en la
ecuación diferencial se obtiene una igualdad. 2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
Es una expresión equivalente a la ecuación
diferencial que carece de derivadas. Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial
La expresión es una "función primitiva" de
la ecuación diferencial. Verificación
Observación: Al derivar la función
primitiva se reproduce exactamente la ecuación
diferencial. 2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Un problema de valor inicial es un problema que busca
determinar una solución a una ecuación diferencia
sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus
derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.
Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.
Un problema de valor de frontera es un problema que
busca determinar una solución a una ecuación
diferencia sujeta a condiciones sobre la función
desconocida especificadas en dos o más valores de la
variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones
de frontera.
Ejemplo ilustrativo
Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en
cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la
ecuación de la curva si ésta pasa por el punto
(2,5)
Solución:
Encuentre la solución general de la
ecuación diferencial.
Resolución.
Soluciones Particulares
Graficando en Graph
Comprobación
3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Es homogénea si no contiene términos que
dependen únicamente de su variable independiente, en caso
contrario es No Homogénea.
Ejemplos:
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación:
Resolución:
En una ecuación diferencial homogénea se
realiza el cambio
Integrando
Graficando para un valor arbitrario C = 1
3.3) ECUACIONES EXACTAS
Resolver la ecuación
Resolución
Para que la ecuación diferencial sea
exacta debe cumplir la condición
Como cumple la condición se trata de
una ecuación diferencial exacta
Se Iguala las dos derivadas con respecto a
y.
Graficando la solución de la
ecuación diferencial para C = 1
3.4) ECUACIONES CON FACTORES
INTEGRANTES
Una vez obtenida la expresión se puede
resolver la ecuación mediante los procedimientos para
ecuaciones diferenciales exactas
Para obtener los factores de integración se
pueden emplear las siguientes reglas:
Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente
ecuación diferencial
Solución
Se debe verificar si la ecuación diferencial es
exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales
exactas son:
Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales,
la ecuación diferencial no es exacta.
Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas
dividida para N es una función de "x" se
aplica:
Multiplicando la ecuación diferencial por el
factor de integración "x" se tiene una ecuación
diferencial equivalente
Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la
nueva ecuación diferencial es exacta.
Como la nueva ecuación diferencial es exacta se
procede a resolverla como en casos anteriores. Esta
solución queda como tarea para el lector.
c constante real.
